B.Sc./M.Sc. Elektrotechnik an der RWTH

Wenn ich Stetigkeit von f auf dem Intervall (a,b) zeigen möchte, dann zeige ich doch, dass $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon \quad \forall x \in (x_0 - \delta_0, x_0 + \delta_0)$ und das muss wiederum für alle $x_0 \in (a,b)$ gelten. Dabei muss dann auch $\delta_0$ klein genug sein, damit $x \in (x_0 - \delta_0, x_0 + \delta_0) \subset (a,b)$ .

In der Übung sollten wir zeigen, dass $f(x) = \frac{1}{x^2}$ auf (0,1) stetig ist und haben $\delta_0 \leq \frac{|x_0|}{2}$ eingeschränkt. Für $x_0$ nahe bei 0 ist das gut, aber für $x_0$ nahe bei 1 gilt doch dann nicht mehr $x \in (x_0 - \delta_0, x_0 + \delta_0) \subset (a,b)$ , oder?
Muss man etwa nur dort, wo es "gefährlich" wird (nicht durch 0 teilen) $\delta_0$ einschränken?

Zum Beispiel haben wir in der Probeklausur gezeigt, dass $f: (0,1) \rightarrow R, \quad f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ auf (0,1) stetig ist und haben $\delta_0 \leq \frac{1 - |x_0|}{2}$ eingeschränkt (Also nahe bei der 1 wirds es "gefährlich"). Würde ich dann bei $f(x) = \frac{1}{2-x_0}$ auf (0,2) $\delta_0 \leq \frac{2-|x_0|}{2}$ einschränken? (Mir ist klar, dass ich nicht immer halbe nehmen muss, aber ist denk ich am bequemsten).

Achtung, gefährliches Halbwissen (ist jetzt ja schon 2 Jahre her): Ich denke mal, es hängt damit zusammen, dass das Intervall offen ist. Du kannst ja beliebig nah an die Randpunkte gehen und immer noch ein delta > 0 angeben.

Naja nicht ganz leicht zu erklären, am besten schauste dir mal die Musterlösung der 1. klausur an.
bis aus x ... usw. sollte ja klar sein, was gemacht wird.

Dein Ziel: Restterm gegen etwas abschätzen, was nur noch von X0 abhängt:
Dazu machen wir den Zähler größer und den Nenner kleiner.

|x - 1| > 0,5 das folgt direkt aus der Vorraussetzung des Definitionsbereichs. Also kannst du den Term im Nenner mit 0,5 ersetzen.
"Problematisch" ist |x| im Nenner.
Das schätzt du dann gegen X0 / 2 ab. und machst gleichzeitig die Einschränkung ans Delta.
Hab mir die Probeklausur nun nicht genau angeschaut, aber X0/ 2 sollte es dort auch tun.

Also so wie ich das sehe, ist das quasi nen kleiner Trick, denn mit der Einschränkung $\delta < \frac{x_o}{2}$ , die man schließlich immer machen darf, folgt mithilfe einer Dreiecksungleichung:
$\left||x|-|x_0|\right| < |x - x_0| < \delta \Leftrightarrow |x| < \frac{x_0}{2} \quad \wedge \quad |x| > \frac{3x_o}{2}$
Damit kann man |x| eigentlich immer in beide Richtungen abschätzen.

jackomo hat geschrieben:Also so wie ich das sehe, ist das quasi nen kleiner Trick, denn mit der Einschränkung $\delta < \frac{x_o}{2}$ , die man schließlich immer machen darf, folgt mithilfe einer Dreiecksungleichung:
$\left||x|-|x_0|\right| < |x - x_0| < \delta \Leftrightarrow |x| < \frac{x_0}{2} \quad \wedge \quad |x| > \frac{3x_o}{2}$
Damit kann man |x| eigentlich immer in beide Richtungen abschätzen.

Hi jackomo, ich glaube dass, das ergebniss soll umgekehrt sein und zwar:

$\left||x|-|x_0|\right| < |x - x_0| < \delta \Leftrightarrow -\delta<|x|-|x_0|<\delta \Leftrightarrow |x| > \frac{x_0}{2} \quad \wedge \quad |x| < \frac{3x_o}{2}$

Ja, klar, logisch, hab mich da vertan ...

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