Frage zu Aufgabe mit Diagonalmatrix

[decidela]

Die Aufgabe habe ich in alten Klausren gefunden- finde die Klausur leider nicht mehr online, weshalb ich mal die Aufgabenstellung poste:

• (a) Bestimme Eigenwerte und Basen der zugehörigen Eigenräume von A
  (b)Diagonalisieren Sie A, indem Sie eine invertierbare Matrix S ausm R3x3 und eine Diagonalmatrix D ausm R 3x3 angeben mit
  A= S*D*S^-1
  (c)Berechnen Sie A^2006

Wäre nett, wenn da jemand eine Lösung zu posten könnte. Die (a) ist klar nur bei der (b) hörts auf.

[Robiwan]

ich versteh nicht so ganz wie man bei einer 2x3-matrix auf die Eigenwerte kommt?? kommen kann..
das x ist ja erst element R^3 und dann aber R^2, also ist Ax=lambda*x nicht möglich oder seh ich das falsch?

[decidela]

ups sorry, falsche matrix...
soll heißen:

[Robiwan]

Ich habe die aufgabe jetzt nicht gerechnet, aber im generellen besteht die wechselmatrix S bei einzelnen Eigenwerten aus den normierten Eigenvektoren,
also S=(x_1,x_2,x_3) , x_1,x_2,x_3 € R^3.
Bei doppelten Eigenwerten also n_alg(lambda_i) >=2 muss man eine Hauptvektorkette bilden, um an die Hauptvektoren zu kommen, S wäre dann S=(b_1,b_2,b_3) wobei b_1,b_2 und b_3 die Hauptvektoren sind, die man nach der Übung wohl "nicht" normieren muss..
und dann ist die Diagonalmatrix D=S^-1 * A * S für einzelene Eigenwerte und für mehrfache Eigenwerte erhält man die Jordanform J=S^-1*A*S.
In deinem Fall ist dann A=S*D*S^-1 , wobei D dann wahrscheinlich die normale Diagonalmatrix ist (einzelne Eigenwerte).
A^k=S*D^k*S-1...A^2006 ist dann wahrscheinlich nur die Eigenwerte in der Diagonalmatrix hoch 2006 und halt mit den wechselmatrizen multiplizieren..

Allerdings frag ich mich gerade, was passiert wenn beides auftritt..wie komme ich dann auf die wechselmatrix???

[Kampfheizung]

Also ich bin mir doch relativ sicher, dass auch die hauptvektoren normiert werden müssen, je nachdem ob die Transformationsmatrix orthogonal sein soll oder nicht. Im Zweifelsfall würde ich sie einfach noch schnell normieren, ist ja keine Arbeit. Wenn es zb einen EW mit n_alg=1 und einen mit n_alg=2 gibt dann muss zu dem ersten EW ein EV und zu dem zweiten Eigenwert ein EV und ein HV gebildet werden (ist ja klar). Die zwei EV und der HV ergeben dann die basiswechselmatrix die zur Jordannormalform führt welche (für n_geo=1 für beide EW) die form
y1 0 0
0 y2 1
0 0 y2
hat.

[Robiwan]

Achso stimmt, danke!
ist ja auch logisch,das mit der wechselmatrix dann..aber kam in der übung iwie nicht vor sowas, nja

okay, hab mich auch gewundert wieso die nicht normiert wurden, aber war wohl, weil sie nicht orthogonal sein mussten..
also zur sicherheit normier ich die wohl mal..^^ nachher hab ich was überlesen oder so..

[eddy]

also zu der Aufgabe habe ich folgende Lösungen errechnet:

a) 1. Ew: -1 mit n_alg=1 mit E(-1)=span{ (1 0 0)t }
2. Ew: 1 mit n_alg=2 mit E(1)=span{ (1 2 0)t , (1 0 1)t }

b) da für beide Eigenwerte gilt: n_alg=n_geo ist A diagonalisierbar
=> s^-1 * A * S = D
mit S den drei Eigenvektoren und S^-1 = ( 1 -1/2 -1, 0 1/2 0, 0 0 1)
und D der Diagonalmatrix, also den Eigenwerten auf der Diagonalen.

c) A^2006 = S * D^2006 * S^-1 = En (Einheitsmatrix)
Da D^2006 = En ergibt und En * S^-1 wieder S^-1 und S * S^-1 = En

[decidela]

Hm ok das hört sich gut und logisch an! War nur irritiert weil es für die b ganze 8 punkte gab...für a auch acht und c 2 Punkte!
Danke für die antworten!