H2011 Klausur

[Xserio]

Hey, kann mir einer die Aufgabe 1 von H2011 erklären?!
Es geht im Prinzip leider schon los ab Teil b!
Villt hat einer ja eine Lösung der Klausuraufgabe, weil da stehen ja nur die Endergebnisse und ich hab quasi keine Ahnung wie man drauf kommt:(

[operationsverstärker]

Hi,

wo sind denn deine Probleme im Teil (b)?

Meine Lösungen:
(b)
(i) p(y>0.7)
Es gilt: p(y > 0.7) = 1 - p(y <= 0.7) = 1 - P(0.7)
Wir müssen noch die Verteilungsfunktion P(Y) ausrechnen: P(Y) ist das Integral von -inf (inf=unendlich) bis y über die Verteilungsdichtefunktion p(y). Das gibt hier das Integral von 0 (weil p(y) = 0 wenn y<0) bis y über 1. Das Ergebis ist also: P(Y) = p(y <= Y) = y
Und somit: 1 - P(0.7) = 1 - 0.7 = 0.3

(b)
(ii) Es gilt bei stat. Unabhg.: p(X,Y) = p(X)*p(Y).
Rechnet man die entsprechenden Verteilungsfunktionen aus, ergibt sich: P(....) = 0.5 * 0.9 = 0.45

edit: Teillösung für (c)
(i) u*v = (x+2y)(x-y+1) = x^2 -xy + x+ 2xy - 2x^2 + 2y
E(u*v) = E(x^2) - E(xy) + E(x) + 2E(x*y) - 2E(y^2) +2E(Y) (mit E(xy) = E(x)E(y), das geht hier nur, da x und y lt. Aufgabenstellung stat. unabhg. sind)
aus (a) kennt man diese Werte noch alle. E(x^2) = 1/(2*PI); E(x) = 0; E(y) = 0.5; E(y^2) = 1/12
==> E(u*v) = 1/(2*PI) - 0 + 0 + 0 - 2/3 + 1 = 1/(2*PI) + 1/3

Gruß

[Xserio]

danke:) stand wohl aufm schlauch, bei der E(VW) muss man einfach v=.. und w=.. ausmultiplizieren und dann einfach die erwartungswerte einzeln berechnen, und da X und Y stat.unabhänig sind geht es auch ganz ok.
ist unkorreliert und stat.unhabhängig eig das gleiche?

[operationsverstärker]

Nicht ganz. Für Korreliertheit testest du, ob
E(uv) = E(u)E(v)
gilt.

E(uv) haben wir grade ausgerechnet.
E(u) = E(x+2y) = E(x) + 2E(y) = 1
E(v) = E(...) = 0.5
==> E(u)*E(v) = 0.5
==> E(u*v) = 1/(2*PI) + 1/3

Da die beiden Terme ungleich sind, sind u und v NICHT unkorreliert.

Bei der (e) ist es auch nicht schwer:
z+b ausrechnen: (x+1; y+2)^t
w = A*(z+b) = (2x+2; 3y+3)^t
E(w) = (E(2x+2); E(3y+6))^t
E(2x+2) = 2E(x) + 2 = 0 + 2 = 2
E(3Y+3) = 3E(y) + 6 = 3*0.5 + 6 = 7.5
E(w) = (2; 7.5)^t

gruß

[Xserio]

ja genau also x und y sind unkorreliert aber u und v eben nicht!
gibt es denn einen unterschied zwischen unkorreliertheit und statistisch unabhängig? das hab ich noch nicht so ganz verstanden..

[Xserio]

danke für die Mühe übrigens;)

[cYrus]

u*v = (x+2y)(x-y+1) = x^2 -xy + x+ 2xy - 2x^2 + 2y

übersehe ich da was oder ist da nen fehler drin? woher bekommst du die 2x^2 ? das müsste 2*y^2 sein

weil dann würde bei mir
E(u*v) = 1/(2*PI) - 0 + 0 + 0 - 2* 1/12 + 1 = 1/(2*PI) + 5/6 raus kommen :I

[shy]

(b)
(ii) Es gilt bei stat. Unabhg.: p(X,Y) = p(X)*p(Y).
Rechnet man die entsprechenden Verteilungsfunktionen aus, ergibt sich: P(....) = 0.5 * 0.9 = 0.45

Hey Leute,
muss hier nochmal nachhaken, steh grad aufm Schlauch bei der Verteilungsfunktion von x (Höma ist leider auch nicht mehr ganz frisch bei mir):
Während es beim Erwartungswert noch mit Substitution geht gibts bei e^x² ja kein geschlossenes Integral mehr, richtig? Wie komm ich jetzt trotzdem an P(x>0)?
Thx!

[cliff]

Hi,

man muss erkennen (hat bei mir auch was gedauert), dass wir eine Gaußverteilung haben mit Mittelwert 0 und Varianz 1/2*Pi.

Das eingesetzt in die Standardform (der Gaußverteilung) ergibt eben als Verteilung exp(-Pi*x^2).

Nun kann man dafür (eben weil es kein geschlossenes Integral mehr ist), die Q Funktion (Skript Seite 5) anwenden. Damit findet man
dann Q(0) = 1/2.

und damit dann 1/2 * 0,9 = 0,45.

[shy]

Super, bedankt!