Lösungsansätze Seperation der Hemlhotzgleichung

[ice86]

Ich habe noch eine Frage, bei der ich einfach nicht durchblicke.

Und zwar gehts um die allgemeinen Lösungsansätze bei der Separation der Helmholtzgleichung, speziell um die Klausur H12 Aufgabe 3a.

Dort wird als Lösungsansatz für Gebiet 1 A1*cosh(q1x) + B1*sinh(q1x) genommen und
als Lösungsansatz für für Gebiet 2 A2*cosh(p2x) + B2*sin(p2x).

Wieso nimmt mal mal den cosh und einmal den normalen cos?

Ich weiß, dass die Lösung Ax+b wäre, falls man sagen würde, dass kx = 0, bzw. Ay+B falls ky = 0 wäre. Aber das mit dem cosh erschließt sich mir nicht.

Vielen Dank für eine Antwort schonmal!

[Hohli]

Hallo ice86,

Der cosinus bzw sinushyperbolikus entsteht aufgrund des Minuszeichens vor dem q1^2 in deiner dgl!

Wenn du nämlich ganz stupide den Ansatz einer e-Funktion in die DGL einsetzen würdest käme für dein
lambda bei e^(-j *lambda) raus:

Lambda = +/- wurzel(-q1^2)

Durch die Wurzel(-1) bekommst du ein weiteres j in den Exponenten. Daher hast du in dem fall eine Lösung vom Typ

E01 = A * e^-(q1 * x) + B * e^+(q1 * x)

Und diese kannst du umrechnen mit Hilfe der hyperbolikus Funktionen!

Im Gebiet 2 hast du dementsprechend

Lambda = +/- wurzel(p2^2)

Weswegen in diesem fall das j im Exponenten von der e-Funktion nicht weg fällt!


Ich hoffe ich konnte dir helfen

MfG hohli

[ice86]

Das macht sogar Sinn!
Danke!!!

[Hohli]

Jop aber guck dir dazu auch mal die Aufgabe 3 der diesjährigen Frühjahrsklausur an!

Da hast du nämlich eine ähnliche Anordnung nur ohne zweite Platte die das Gebiet 2 abschließt.
Und deswegen musst du da für Gebiet 2 die e-Funktion benutzen weil das für x -> unendlich
Abklingen soll!

Darüber bin ich nämlich gestolpert

[sisa]

Dazu eine ähnliche Frage:
Übungsblatt 12, Lösung, Folie 5.
Wir definieren ja immer entsprechende Abkürzungen, hier z.B. kx und kz.
Woher weiß ich denn, welches Vorzeichen diese Abkürzung bedeuten. Beim Rechnen habe ich einfach anstatt -kx und -kz einfach
für die Terme positive Abkürzungen eingeführt. Kommt man dann zum nächsten Schritt, würde von für die Lösungsansätze anstatt cos und sin
nun cosh und sinh wählen (eben wegen der Erklärung von weiter oben, weil ja nun das Vorzeichen der zweiten Ableitung positiv sein müsste.
Versteht ihr was ich meine? Hat da jemand den Durchblick?

[Hohli]

Ich glaube ich verstehe was du meinst und hoffe dass ich auch grade bei der richtigen Aufgabe bin weil in meiner Lösung ist das px und py.

Aber da musst du halt genau die Aufgabenstellung beachten in der gefordert ist dass p²=px²+py² sein soll
und da du ja auf die DGL

1/X(x) * ∂²X(x)/∂x² + 1/Y(y) * ∂²Y(y)/∂y² + p² = 0 => -px² -py² +p² = 0

kommst, müssen px und py nunmal so definiert werden!

Ich habe es aber grade mal durchgeschaut und im Endeffekt würde es für die weiteren Aufgaben keinen Unterschied machen!
Für X(x) würde man immer noch Ax+B raus bekommen und für Y(y) dann jeweils die hyperbolikus Funktionen wobei dies
nachher nur im Vorzeichen einen Unterschied macht dies aber egal ist, da der Sinus und der Sinushyperbolikus an den gleichen
Stellen Null werden.

[sisa]

Hey,

danke für deine schnelle Antwort.
Ich bin leider so dämlich, dass ich dir die falsche Aufgabennummer gesagt habe. Ich meinte Aufgabe 11.
Im Grunde müsste aber auch bei meiner Aufgabe deine Erklärung greifen.

[Hohli]

Achso das erklärt einiges

kommt aber im Endeffekt auch wieder aufs gleiche raus weil der cosinus bzw in deinem Fall dann der Cosinus Hyperbolikus
weg fällt und nur der Sinus übrig bleibt oder in deinem Fall der Sinus Hyperbolikus.
Und die sind beide gleich was die Nullstellen an geht.

Von daher passt das

[sisa]

Wow, Danke. Mittlerweile scheint es wirklich klick gemacht zu haben.
Danke dir!