Zusatzübung

Michael Sielski · Beitrag von **Michael Sielski** » Mo 29. Mär 2010, 20:15

Hab die Übung auch endlich Mal gemacht. ^^ Falls du die Vergleichsergebnisse noch brauchst Nils:

Aufgabe 1:
$\text{a)}\;\; b=\frac{1}{4}$
$\text{b)}\;\; F_X(x)=\begin{pmatrix}0 & x<-2 \\ \frac{x^2}{16}+\frac{x}{4}+\frac{1}{4} & -2\leq x < 0 \\ -\frac{x^2}{48}+\frac{x}{4}+\frac{1}{4} & 0\leq x \leq 6 \\ 0 & x>6 \end{pmatrix}$
$\text{c)}\;\; E(x)=\frac{4}{3}$
$\text{d)}\;\; Var(x)=\frac{26}{9}$

Wenn so eine Aufgabe wie die e) in der Klausur drankommt werde ich die definitiv als letztes bearbeiten, hat viel zu lange gedauert. ET4 ist doch schon irgendwie lange her

$\text{e)}\;\; f_Y(y)=f_X(x)*f_Z(z)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(y-\tau)\cdot f_Z(\tau)d\tau = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{4}\cdot f_X(y-\tau)d\tau$
Ich komme ansonsten auch auf die 5 Bereiche mit den gleichen Grenzen:
$\begin{tabular}y < -4 & \quad\quad & f_Y(y)=0 \\ -4\leq y<0 & & f_Y(y)=\int_{-4}^{y}\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{1}{16}\underbrace{(-y+\tau )}_{Betrag...}+\frac{1}{4}\right) d\tau = \dots = \frac{y^2}{128}+\frac{y}{8}+\frac{1}{8} \\ 0\leq y <4 & & f_Y(y)=\int_{0}^{y}\frac{1}{4}\cdot\left( -\frac{1}{16}(y-\tau ) +\frac{1}{4} \right) d\tau + \int_{y}^{4}\frac{1}{4}\cdot\left( -\frac{1}{16}(-y+\tau ) +\frac{1}{4} \right) d\tau= -\frac{y^2}{64}+\frac{y}{16}+\frac{1}{8} \\ 4\leq y\leq 8 & & f_Y(y)=\int_{y-4}^{4}\frac{1}{4}\cdot\left( -\frac{1}{16}(y-\tau ) +\frac{1}{4} \right) d\tau = \frac{y^2}{128}-\frac{y}{8}+\frac{1}{2}\\ y>8 & & f_Y(y)=0\end{tabular}$

Aufgabe 2:
$\text{a)}\;\; H=2$
$\text{b)}\;\; \overline{n}=2$
$\text{c)}\;\; H=1,846$
$\text{d)}\;\; \overline{n}=1,9$
$\text{e) nicht eindeutig... ich hab's wie Chris:}\;\;111 111 0 10$
$\text{f) => S B D E}$

Aufgabe 3:
$S_{WW}(f)=\frac{1}{2}$
$H(f)=2\cdot e^{-j3\pi f} \cdot si(\pi f)\Rightarrow |H(f)|^2=4 si^2(\pi f)$
$S_{NN}(f)=|H(f)|^2\cdot S_{WW}(f)=2\cdot si^2(\pi f)$

Aufgabe 4:
$\text{a)}\;\; D(p||q(t=0,5))=0,9749$
$\text{b)}\;\; \text{mit}\;\; ld(x)=ld(e)\cdot ln(x):$
$\frac{d}{dt}\left( D(p||q(t)) \right)=ld(e)(9t-4)\overbrace{=}^{!}0 \; \Rightarrow \; t=\frac{4}{9}$
$\text{Test ob Minimum:}\;\;\frac{d^2}{dt^2}\left( D(p||q(t)) \right) = 9\cdot ld(e) > 0 \Rightarrow \;\;\text{Minimum!}$
$\text{c) Ratespiel, aber vermutlich habt ihr recht:}$
$\text{Minimum:}\;\; r=p=\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right)$
$\text{Maximum:}\;\; r=\left( 0, 0, 1 \right)$

testuser · Beitrag von **testuser** » Mo 29. Mär 2010, 21:02

Hi, muss es nicht 2*si(pi*f) bei der 3 sein

NST · Beitrag von **NST** » Mo 29. Mär 2010, 21:13

Ich hab die 1e) mal mit Matlab gemacht: Einfach das M-File Skript zusatzaufgabe1e durchlaufen lassen, im Workspace sind dann utner p1,p2,p3 die Koeffizienten der Polynome 2ten Grades für die von Null verschiedene Bereiche (x^2, x, x^0):

1: 1/128, 1/16, 1/8
2: -1/64, 1/16, 1/8
3: 1/128, -1/8, 1/2

Grüße Nils

Beitrag von **Daniel Rüschen** » Mo 29. Mär 2010, 21:25

testuser hat geschrieben:Hi, muss es nicht 2*si(pi*f) bei der 3 sein

Es müsste $2si^2(\pi*f)$ sein.

testuser · Beitrag von **testuser** » Mo 29. Mär 2010, 22:15

genau das meinte ich, also 2si(pi*f)^2 und nicht 2si(2pi*f)^2

bzw. muss doch die Aufgabe so aussehen:

$H(f)=2\cdot e^{-j3\pi f} \cdot si(\pi f)\Rightarrow |H(f)|^2=4 si^2(\pi f)$

Sveno · Beitrag von **Sveno** » Mo 29. Mär 2010, 22:51

Michael Sielski hat geschrieben: $\text{d)}\;\; Var(x)=\frac{26}{9}$

Also ich krieg da auch nach wiederholtem durchrechnen 107/36 raus mit V(X) = E(X²)-E(X)²=E(X²)-16/9 wobei E(X²)=19/4 ist

Michael Sielski · Beitrag von **Michael Sielski** » Mo 29. Mär 2010, 23:30

Du hast recht Testuser. Hab's irgendwie geschafft von 0 bis 2 statt von 1 bis 2 zu integrieren - und ansonsten: ET 4 ist wirklich laaaange her

@Nils: Hab mich korrigiert.
Allerdings kommt bei mir für -4 <= y < 0 als Vorfaktor von y 1/8 raus und nicht 1/16 raus.
4 <= y <= 8 habe ich jetzt genauso. Ist eben doch ziemlich unübersichtlich.
Für 0 <= y < 4 macht es schon sinn, dass f_Y(y) nicht konstant ist

. Auch hier hat MATLAB wieder recht. ^^ Mein Ansatz war falsch, ich füge die Änderung gleich ein.

@ sveno:
$Var(x)=E(x^2)-E(x)^2$
$E(x)=\frac{4}{3} \;\text{soweit stimmen wir uns offenbar ueberein}$
$E(x^2)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cdot f_X(x) dx = \int_{-2}^0 \left(\frac{x^3}{8}+\frac{x^2}{4} \right)dx +\int_0^6\left(-\frac{x^3}{24}+\frac{x^2}{4}\right)=\left[\frac{x^4}{32}+\frac{x^3}{12} \right]_{-2}^{0}+\left[ -\frac{x^4}{96}+\frac{x^3}{12} \right]_0^6 = -\frac{16}{32}+\frac{8}{12}-\frac{1296}{96}+\frac{216}{12}= \frac{14}{3}$
$\Rightarrow \; Var(x)=\frac{14}{3}-\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{42-16}{9} = \frac{26}{9}$

Sveno · Beitrag von **Sveno** » Mo 29. Mär 2010, 23:57

Michael Sielski hat geschrieben: @ sveno:
$-\frac{16}{32}+\frac{8}{12}-\frac{1296}{96}+\frac{216}{12}= \frac{14}{3}$

Ganz ganz dummer Fehler von mir, hab in den Taschenrechner für 8/12 0,75 eingegeben.^^

freelo · Beitrag von **freelo** » Di 30. Mär 2010, 11:55

Sveno hat geschrieben:für 8/12 0,75 eingegeben.^^

siehe "Ich tippe 2 + 8 in den Taschenrechner!"

B.Sc./M.Sc. Elektrotechnik an der RWTH

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