H2003 Aufgabe 5

-sting- · Beitrag von **-sting-** » Sa 10. Aug 2013, 11:03

Hey,

direkt die nächste Frage zu der Klausur:

Bei Punkt 5.2.2 soll man die gesamte E-Feldstärke im Rechteckhohlleiter angeben (lufgefüllt). Da es sich um $H_{10}$ bzw. $H_{20}$ Moden handelt, bin ich zu Kapitel 4.2.2 gegangen (Seite 44, H-Wellentypen) und wollte aus den angegebenen transversalen Feldstärken die gesamte Feldstärke bilden. Da der Index n aber bei beiden Wellen 0 ist, fällt $E_x(x,y)$ aufgrund von $\sin(\frac{n\pi}{b}y)$ weg. Der cos-Term bei $E_y(x,y)$ wird aus dem gleichen Grund zu 1. Soweit ist das alles klar. Aber:

Wieso ist aber laut Musterlösung die Gesamtfeldstärke:

$E_{ges}=E_1\sin(\frac{\pi x}{a})\exp(-\gamma_1z)+E_2\sin(\frac{2\pi x}{a})\exp(-\gamma_2z)$

Laut Formel (4.38) müssten sich $p^2_{1,0}$ und $p^2_{2,0}$ für $H_{10}$ und $H_{20}$ unterscheiden und sich entsprechend die Amplitude von $H_{20}$ halbieren, da sich das m nur einmal wegkürzt und somit ein Mal der Faktor 2 bestehen bleiben müsste. Und wohin verschwinden in der Musterlösung das $-j\omega\mu$ ?

mgeis · Beitrag von **mgeis** » Sa 10. Aug 2013, 15:40

Die fehlenden Faktoren wurden alle in $E_1$ und $E_2$ geschlagen. In den weiteren Unterpunkten wird alles in Abhängigkeit von $E_1$ und $E_2$ angegeben, und es macht wohl keinen großen Unterschied ob man damit bei 5.2.2 anfängt, oder erst bei 5.2.3.

-sting- · Beitrag von **-sting-** » Di 13. Aug 2013, 08:37

Okay, danke soweit

Aber ich finde es schon komisch, dass man nicht mal die halbierte Amplitude von $E_2$ angibt. Das ist ja schon ein großer Faktor... aber okay, kann ich mit leben.

Grüße

-sting- · Beitrag von **-sting-** » Di 13. Aug 2013, 09:15

Ich hab zu der Aufgabe aber gleich noch eine Frage

Bei 5.2.4 soll die Ebene berechnet werden, bei der das nächste Maximum auftritt.

Da wird erstmal aus der Gesamtfeldstärke aus dem $\gamma$ ein $\beta$ (ich nehme an weil $\kappa$ unendlich ist und damit der Hohlleiter verlustfrei ist?! Dann steht in der Musterlösung aber einfach als Aussage

Maximum:

$(\beta_2 - \beta_1)*z = \pi n$

Woher kommt diese Formel? Ist das eine Ableitung nach z, die ich irgendwie nicht nachvollziehen kann? Steht das irgendwo im Skript? Vor allem aber: Wie kommt man dann, wenn man n = 1 einsetzt (für das 1. Maximum) auf

$z_{max} = \frac{\pi}{\beta_1 - \beta_2}$ ?
Der Nenner müsste doch wenn dann $\beta_2 - \beta_1$ lauten, wenn ich die gegebene Formel nach z umforme oder sehe ich das falsch?

Und daraus ergibt sich gleich die nächste Frage: In der Mitschrift der Musterlösung wird bei Unterpunkt 5.2.5 dann auch gesagt, dass "Das Maximum durch den relativen Phasenunterschied
$(\beta_2 - \beta_1)*z = - \pi$
bestimmt wird". Wie stimmt das Vorzeichen denn nun? Fehlt in der ersten Formel der Mitschrift unter Maximum also ein negatives Vorzeichen vor $\pi n$ ?

-sting- · Beitrag von **-sting-** » Di 13. Aug 2013, 12:03

So, letzte Frage zu der tollen Aufgabe:

Bei Unterpunkt 5.3.2 soll die transportierte Leistung in 10m Entfernung berechnet werden. Das Prinzip ist soweit klar, mit dem Hinweis aus der Aufgabenstellung kann man $\alpha_{H_{10}}$ sowie $\alpha_{H_{20}}$ berechnen. Das ganze multipliziert man dann mit der gewünschten Entfernung (in diesem Fall eben 10m) und erhält somit einen Wert in dB.

Der Lösungsansatz lautet dann:

$P_1(z=z_1) = P_{H_{10}} * 10 ^{-\alpha_H_{10}*z_1} + P_{H_{20}} * 10 ^{-\alpha_H_{20}*z_1}$

Leider kommt man auf das Ergebnis der Musterlösung (2,765kW) nur, wenn man in beiden Exponenten den dB-Wert mit dem Faktor 0,1 multipliziert. Ist das richtig so oder ein Fehler in der Lösung? Falls ja, wo kommt der Vorfaktor her?

Bspw. ist $\alpha_H_{10}*z_1 = 0,63857dB$ , aber eingesetzt wurde in obige Formel der Wert 0,063857dB.

mgeis · Beitrag von **mgeis** » Di 13. Aug 2013, 14:29

5.2.2: Wenn man mit (4.38) vergleicht, ist $E_m = \frac{-j\omega\mu}{p^2_{m,0}}F_{m}\frac{m\pi}{a}$ , also steckt der Faktor 2 vom $p^2_{m,0}$ schon mit drin.

ich nehme an weil \kappa unendlich ist

Genau, in 5.1 und 5.2 ist nach Aufgabenstellung $\kappa\to\infty$ , in 5.3 wird dann ein Wert für $\kappa$ angegeben.

5.2.4: Wir müssen $E_{\text{ges}}(x,z) = E_1(x)e^{-j\beta_1z} + E_2(x)e^{-j\beta_2z}$ über $z$ und $x$ maximieren. Zuerst können wir versuchen bei festem $x$ über $z$ zu Maximieren: Dann haben wir zwei Terme mit festem Betrag und variabler Phase, sagen wir a und b, also $a=E_1(x)e^{-j\beta_1z}$ und $b=E_2(x)e^{-j\beta_2z}$ . |a+b| wird maximal |a|+|b|, zwar wenn a und b die gleiche Phase haben. Damit ist bei $z=0$ ein Maximum und das nächste ist beim kleinsten Wert $z$ für den $\angle e^{-j\beta_1z}=\angle e^{-j\beta_2z}$ , also $-j\beta_1z = -j\beta_2z + 2k\pi$ , mit $k \in \mathbb Z$ . Hier haben wir getrennt maximiert, zuerst über x und dann über z.

Man muss aber eigentlich gemeinsam über $x$ und $z$ Maximieren. Auf die Idee, dass das Maximum bei einem anderen $x$ liegt kommt man wohl erst wenn man die Aufgabenstellung von 5.2.5 liest. Jetzt muss man darauf kommen, dass wegen der Symmetrie entlang $x$ gilt: $\max_{x,z}|a+b| = \max_{x,z}|a-b|$ . Darauf kommt man wohl nur mit einem Skizze von a und b über x, wie in der RÜ2008 bei 5.2.5. Also maximieren wir jetzt $|a\pm b|$ über $z$ . Das geht wie oben, aber der potentielle Vorzeichenwechsel bewirkt $\pi$ Phasendifferenz. Also suchen wir das kleinste $z>0$ mit $-j\beta_1z = -j\beta_2z + l\pi + 2k\pi$ , wobei $k \in \mathbb Z$ und $l=0$ für |a+b| und $l=1$ für |a-b|. Das vereinfacht sich zu $-j\beta_1z = -j\beta_2z + n\pi$ mit $n \in \mathbb Z$ , was nach einer Umformung dann auch in deinem Post steht. Anders gesagt, die Phasendifferenz muss nur ein Vielfaches von $\pi$ sein, nicht von $2\pi$ . Wegen $\beta_1>\beta_2$ und $z>0$ ergibt sich dann $n=-1$ .

5.3.2: Bei der Umwandlung von Dezibel in einen Zahlenwert hast du glaube ich einen Faktor 10 vergessen, also du hast mit $x=10^{x_{\mathrm{dB}}}$ anstatt von $x = 10^{x_{\mathrm{dB}}/10}$ gerechnet.

B.Sc./M.Sc. Elektrotechnik an der RWTH

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