kommen bernoulli und riccatti dran?

[Kampfheizung]

Der Betreff sagts eigentlich schon. Ich frag mich ob die Bernoulli und die riccatti DGL dran kommen können obwohl es dazu (korrigiert mich wenn ich falsch liege) keine einzige Übungsaufgabe gibt. Im Skript werden aber beide DGLs behandelt. Wär cool wenn da einer was zu weiß.
danke schonmal
Kampfheizung

ps: und gleich noch ne frage, vlt kann das ja einer so im vorbeigehen beantworten. wenn ich nen eigenwert hab der ne algebraische vielfachheit von 3 hat und ne geometrische vielfachheit von 2, muss ich dann 2 eigenvektoren und einen hauptvektor bestimmen? oder ganz normal einen EV und zwei HV ?
nochmal danke

[jxs]

Hi, ich hab den ganzen Abschnitt 7.4 im Skript durchgestrichen, ich denke in der Vorlesung wurde gesagt, dass er nicht relevant ist (für die Klausur ).

Kann mir vielleicht jemand eine kurze Erläuterung zu den Hauptvektoren und Hauptvektorketten geben? Ich verstehe nicht so ganz, wie ich die bekomme. Muss ich dazu wirklich Matrizen potenzieren, also ker( (A - lambda*E)^3 ) zum Beispiel? Wie gesagt verstehe ich das Verfahren an sich nicht. Mir würde ein ausführliches Beispiel oder ein Link zu einer guten Erklärung sehr helfen.

[Kampfheizung]

Ok danke, hat mir sehr geholfen
Weisst du zufällig auch ob Phasenportraits dran kommen?

Zu deiner Frage wie man sowas mit Hauptvektorketten rechnet. Alles dazu weiss ich leider auch nicht aber zumindest kann ichs soweit erklären das man damit die aufgaben rechnen kann. Wäre sehr cool wenn einer die stellen wo ich keine ahnung hab noch ergänzen könnte ^^

1. charakteristisches polynom bilden und eigenwerte bestimmen. wenn ein eigenwert zb 3 mal als nullstelle des charakteristischen polynoms vorkommt dann ist seine algebraische vielfachheit drei.

2.zu jedem eigenwert den eigenvektor berechnen. die eigenvektoren sind ker(A-lambda*E) (hier jetzt die in 1. berechneten eigenwerte für lambda einsetzen), also die lösung von (A-lambda*E)*x=0 (einfach mit gauß berechnen). die geometrische vielfachheit eines eigenwertes ist dim(ker(A-lambda*E)), also einfach ausgedrückt wieviel parameter man vorwählen muss beim berechnen des eigenvektors.

3. ist zu einem eigenwert n_geo<n_alg so lassen sich hauptvektoren bestimmen. (hier ist auch schon meine frage: was genau mache ich wenn wenn zb. n_alg=3 und n_geo=2 ist?). die hauptvektoren k-ter stufe zum eigenwert lambda werden bestimmt indem man ker((A-lambda*E)^k) berechnet. Dabei muss man maximal bis zur stufe k=n_alg berechnen. und hier ist wieder mein problem was man genau tun muss wenn der kern von einer stufe ne größere dimension als 1 hat ?

4. jetzt berechnet man die kette aus hauptvektoren. komischerweise scheint es so das man alle vektoren dieses eigenwerts bis auf den hauptvektor maximaler stufe wieder vergessen kann und umsonst berechnet hat was ich nen bisschen merkwürdig finde. also sei der b_k der Hauptvektor maximaler stufe (der stufe k). dann ist b_(k-1)=(A-lambda*E)*b_k, b_(k-2)=(A-lambda*E)*b_(k-1), ..., b_1=(A-lambda*E)*b_2. tadaaa. fertig ist die kette von hauptvektoren.

wenn jetzt noch jemandem was zu den stellen einfällt wo ich keine ahnung hab wäre super

[jxs]

2.zu jedem eigenwert den eigenvektor berechnen.

Wieso DEN Eigenvektor? Falls die geometrische Vielfachheit > 1 bekomme ich doch mehrere l.u. Eigenvektoren. (Das die Eigenvektoren nicht eindeutig sind ist denke ich klar )

Ich habe das jetzt so verstanden, dass wenn n_alg > n_geo dann hat man nicht genug (Eigen)vektoren um eine Transformationsmatrix B = (x1,x2,x3,..,xn) aufzustellen mit der gilt: B-1 * A * B = D , wobei D in Diagonalgestalt ist.

Deshalb berechnet man sich noch die Hauptvektorkette. Dann bastelt man sich wieder aus den Eigen/Hauptvektoren (und zwar alle Hauptvektoren der Kette!) eine Transformationsmatrix S. Mit der gilt S-1 * A * S = J , wobei J die Jordan-Normalform ist.

Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich die Hauptvektoren richtig, bzw effizient berechne: Sei L der Eigenwert

• 1. ker(A-L*E), ker(A-L*E)^2 , ker(A-L*E)^3 , ... , ker(A-L*E)^k mit k = n_alg(L) (Dieser Schritt scheint mir sehr aufwendig)
  2. Einen Vektor b_k element ker(A-L*E)^k \ ker(A-L*E)^(k-1) wählen
  3. Rekursiv: b_(k-1) = (A-L*E) * b_k
  4. b_1 hat man schon. b_1 ist der vorher berechnete Eigenvektor

Ist das Vorgehen soweit in Ordnung? Oder kann man sich vielleicht in Punkt 1 das Leben vereinfachen?


Ansonsten Phasenportraits habe ich nicht gelernt, da ich glaube, dass so etwas eher nicht dran kommt (Kam das jemals in der Übung vor?). Allerdings ist das keine offizielle Aussage.

[eddy]

Hey,

also zu deiner Frage mit der Hauptvektorkette:

Die Vorgehensweise hast du, soweit ich das beurteilen kann, richtig erkannt,
wobei wir als b_1 in einer Großübung auch b_1 = (A-L*E) * b_2 benutzt haben
und nicht den Eigenvektor selber genommen haben.

Aber ich glaube, wenn nur nach der Tranformationsmatrik gefragt ist,
gibt es auch eine leichtere Methode an diese zu gelangen, wenn n_geo<n_alg ist,
da das Potenzieren der Matrizen einen recht erheblichen Zeitaufwand und eine
leichtere Fehlerquelle darstellt.

Dieses ist ein sehr hilfreicher Link: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/k ... te109.html

Hier wird eine etwas andere Herangehenweise gezeigt, um die Transformationsmatrix zu bekommen,
und alle möglichen Fälle die bei 2x2 und 3x3 Matrizen vorkommen können erläutert.

Ich hoffe, dass ich etwas weiter helfen konnte.

[Kampfheizung]

Hey danke, der von dir gepostete Link ist gut Allerdings wird dort wenn ich das richtig sehe nicht erklärt was man tun muss wenn n_alg=3 und n_geo=1 und dim(ker(A-lambda*E)^2)=2 ist [also (A-lambda*E)^2 den rang 1 hat]. Aufgabe 20 der Kleingruppe behandelt genau diesen Fall und dort wird es wohl so gemacht, dass dann einfach gesagt wird ker(A-lambda*E)^3=R^3 und man dann einfach einen HV dritter Stufe €R^3 (aber nicht element aus ker((A-lambda*E)^2)) wählt und damit dann rekursiv einen HV zweiter und erster Stufe berechnet. Aber irgendwie kann das doch (auch wenn das ergebnis stimmt) nicht ganz methodisch richtig sein. Man muss doch bestimmt korrekter weise zwei hauptvektoren aus ker(A-lambda*E)^2 bestimmen ohne noch ker(A-lambda*E)^3 zu betrachten oder? (zumal ker(A-lambda*E)^3 zu überprüfen auch ne zusätzliche matrixmultiplikation bedeutet^^)

[Robiwan]

also ich würde es so machen wie in der übung auch, da die leute vom paape-institut ja immer mies korrigieren..nach dem motto, "was nicht im skript bewiesen wurde, darf nicht benutzt werden".
sonst könnte man ja auch bei den dgln andere methoden anführen
zu aufgabe 20 lohnt sich ein blick ins skript S.104. dort steht das b € ker(A-lambda E_n)^k \ ker(A-lambda E_n)^k-1 .
also falls n_alg(lambda)=3 ist, bedeutet das, dass b € R^3 ist und linear unabhängig zu den vektoren, die man für kern(A-lambda E_n)^2 herausbekommt.
generell kann man auch den ker(A-lambda E_n)^3 bestimmen und sollte dasselbe herausbekommen. ist dann aber eine matrix-multiplikation mehr
aber meist gibt es nicht soviele möglichkeiten, wie man den lin. unabh. vektor wählen muss.
bei A 20 war es ja sehr offentsichtlich..

[decidela]

hi habe nicht gesehen, dass hier das thema behandelt wird und hatte eben ein neues aufgemacht...
habt ihr hiezu auch etwas?! :
http://www.bsetitti.de/viewtopic.php?f=37&t=1233