wesentliche Singularitäten

[goofy]

Hallo.
Mir ist gerade aufgefallen, dass in der Probeklausur bei der Bestimmung der Art der Singularitäten garnicht die Laurentreihen betrachtet werden.
Wie erkennt man den, ob es eine wesentliche Singularität sein kann ohne die Reihe zu betrachten? In der Probeklausur gucken die nur die Singularitäten an und enscheiden dann ob hebare Singularität oder Polstelle.

Nehmen wir mal 1/cos(z). Wenn ich davon die Reihe austelle, sehe ich, dass es eine wesentlich Singularität ist, weil mein bn nicht null ist für n < 0. Kann man das auch irgendwie anders festellen?


Gruß

Flo

[TimSz]

Was soll da wesentlich sein? cos(z) hat nur einfache Nullstellen, daher hat 1/cos(z) nur einfache Polstellen.
Wesentlich sind die Singularitäten nur, wenn bn != 0 für unendlich viele n<0.

[goofy]

Ja tut mir Leid. Die falsche Funktion. Meinte cos(1/z). Also eine Singularität bei z=0. Wieso ist das eine wesentliche Singularität und kein Pol bei z=0? Das ist eigentlich die Frage die sich mir stellt. Wenn ich die Reihe davon aufstelle wird es mir klar. Gibt es noch einen einfachen Weg das so zu sehen?

Gruß

Flo

[TimSz]

Das ist eigentlich keine isolierte Singularität, weil direkt um die Stelle z=0 herum unendlich viele Polstellen der Funktion sind. Es gibt also keinen noch so kleinen "Ball" um z=0 herum, in der die Funktion holomorph ist. Und wenn die Singularität nicht isoliert ist, kann man sie eigentlich gar nicht klassifizieren.

[goofy]

Das wäre doch nur der Fall wenn 1/cos(1/z) da stehen würde mit z0= k pi. Dann gäbe es uendlich viele Singularitäten ganz nah an 0 dran. -> nicht mehr isolierend. Aber bei cos(1/z) ist das glaube ich nicht der Fall. Oder sehe ich da was verkehrt?

Vielen Dank

[TimSz]

Stimmt, das hab ich jetzt wieder durcheinander gebracht...