Normalenvektor

mosto · Beitrag von **mosto** » Fr 26. Mär 2010, 10:00

hi, wenn man den Normalenvektor bei STOKES oder bei GAUSS berechnet, muss er immer noch normiert werden.Ist das richtig so?
Aber wenn wir do/dw(Flaechenelement) berechnenm nehmen wir nur den Betrag des NICHT normierten Normalenvektor oder?
danke

bob10 · Beitrag von **bob10** » Fr 26. Mär 2010, 11:24

Bei Stokes und Gauss muss der noch normiert werden, richtig.
Aber den Betrag muss man nicht unbedingt ausrechnen, da er sich je nachdem wegkürzt, s. Klausur 1. Termin bei Stokes.

Der Betrag des normierten Normalenvektors ist ja schon 1, er ist ja eben normiert,
also wird wohl der Betrag des nicht normierten Normalenvektors genommen.

Lecter2k · Beitrag von **Lecter2k** » Sa 27. Mär 2010, 14:12

Wie wäre denn der Normalenvektor bei der Klausur?

mosto · Beitrag von **mosto** » Sa 27. Mär 2010, 14:47

kannst du mir das vektorfeld der aufgabe angeben, v(x+z,-xy^2,?)....die dritte komponente kann nicht stimmen...

Lecter2k · Beitrag von **Lecter2k** » Sa 27. Mär 2010, 15:13

Nein, ich kann mich leider nicht mehr erinnern:(
Aber ich habe eher eine Frage zur Parametrisierung X(x,y):
Ist das hier (x,y,WURZEL(9+x^2+y^2)) oder (4x,4y,5)???
Doofe Frage, aber braucht man denn überhaupt v, um N zu berechnen?
Danke

bob10 · Beitrag von **bob10** » Sa 27. Mär 2010, 15:43

mosto hat geschrieben:kannst du mir das vektorfeld der aufgabe angeben, v(x+z,-xy^2,?)....die dritte komponente kann nicht stimmen...

Richtig ist vermutlich $\vec f = (z, x \cdot y^2, x + z)$ denn dann ist $rot(\vec f) = (0, 0, y^2)$ und zumindest bei mir ;-) kommt dann auch $64 \pi$ bei a) und b) raus.

bob10 · Beitrag von **bob10** » Sa 27. Mär 2010, 15:57

Lecter2k hat geschrieben:Aber ich habe eher eine Frage zur Parametrisierung X(x,y):
Ist das hier (x,y,WURZEL(9+x^2+y^2)) oder (4x,4y,5)???

Ich hab da $\vec x(x, y) = (x, y, z = h(x, y)) = (x, y, \sqrt{9+x^2+y^2})$

Für den Normalenvektor gilt: $\vec n = \frac{ \frac{d \vec x}{dx} \times \frac{d \vec x}{dy} }{ \parallel \frac{d \vec x}{dx} \times \frac{d \vec x}{dy} \parallel } = \frac{ (- \frac{dh}{dx}, - \frac{dh}{dy}, 1) }{ \sqrt{1 + |\nabla h|^2} }$
wobei $h(x,y) = z = \sqrt{9+x^2+y^2}$ aus der regulären Fläche F.

Da kommt dann $\vec n = \frac{ (\frac{ -x }{ \sqrt{9+x^2+y^2}}, \frac{ -y }{ \sqrt{9+x^2+y^2}}, 1) }{ \sqrt{1 + |\nabla h|^2} }$ raus.

Lecter2k · Beitrag von **Lecter2k** » Sa 27. Mär 2010, 16:01

Vielen Dank

Herr Vorragend · Beitrag von **Herr Vorragend** » Sa 27. Mär 2010, 17:05

Was heißt genau berechne ohne Stokes?

Meinen die mit

$A_{\mathcal{F}} ={\int\int} ...\rho d\phi dz$ ???

, wobei mir das bei dem Vektorfeld was komisch vorkommen würde, da man ja wegen "ohne Stokes" auch nicht mit Gauß arbeiten darf da dieser ja Spezialfall von Stokes ist!!
oder über die Kurve mit geeigneter Parametrisierung?

Wahrscheinlich seh ich den Wald vor lauter Bäumen kaum ^^

und noch eine Frage was ist der unterschied zwischen $d\omega$ und $do$

Ist das nicht beides $|N|dudv$ ??

bob10 · Beitrag von **bob10** » Sa 27. Mär 2010, 17:16

Herr Vorragend hat geschrieben:Was heißt genau berechne ohne Stokes?

Ohne Stokes heisst, dass Du das orientierte Flächenintegral $\int rot(\vec f) \cdot \vec n \cdot d\omega$ löst,
also rot(f) berechnen, n berechnen, Skalarprodukt und für dw = |N| dx dy einsetzen. Die beiden |N| von dw und n kürzen sich dann raus und Du hast ein bekanntes Flächenintegral. Und dann eben je nachdem in Polarkoordinaten transformieren und ausrechnen ;-)

B.Sc./M.Sc. Elektrotechnik an der RWTH

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